Teorema Fundamental da Aritmética: o que diz o teorema?

Data 08/11/2019

Postado por Guilherme Reis

Neste artigo, você vai conhecer o Teorema Fundamental da Aritmética e como esse assunto cai em prova.

O que diz o teorema?

“Todos os inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposição única em fatores primos”.

Para entender melhor o teorema, vamos analisar alguns de seus detalhes.

Números Primos

Um número inteiro primo \dpi{150} \large p é um número que possui apenas quatro divisores distintos: \dpi{150} \large \pm 1 e \dpi{150} \large \pm p. Já um número natural primo n é um número que possui apenas dois divisores, que são 1 e o próprio número, ou seja, 1 e n. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53…

Decomposição

Podemos dizer que decompor um número é escrevê-lo como o produto de fatores que ele, por exemplo, o número 84 poderia ser decomposto nas formas \dpi{150} \large 2*42, 3*28, 6*14, 2*3*14, 2*6*7,2^{2}*3*7 , entre outras.

Tendo entendido isso, podemos compreender com mais facilidade o significado do teorema: dado um número inteiro p, dentre todas as suas decomposições possíveis, existiria uma única tal que todos os elementos multiplicando sejam primos ou potências de primos:

\dpi{150} \LARGE p=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{n}^{\alpha _{n}}, em que os \dpi{150} \large p_{i} são números primos.

Demonstração

A demonstração será dividida em duas etapas. Inicialmente, provaremos que uma decomposição em fatores primos e, em seguida, provaremos que essa decomposição é única.

Sendo x um número qualquer, queremos provar que existe uma decomposição de x em fatores primos. Para isso, usaremos um recurso indutivo:

  • Começando com x=2, vemos que ele possui uma decomposição em fatores primos, já que ele próprio é um número primo, e podemos chamar essa decomposição de decomposição trivial.
  • Sendo x > 2, se x for um número primo, então admite a decomposição trivial, da mesma forma que o número 2. Se x não for primo, então x possui um divisor positivo d qualquer, tal que x=dq. Analogamente ao que foi feito com x, caso d ou q sejam primos, eles admitem decomposição trivial. Se não forem, eles podem ser repetido até que se encontrem fatores que aceitam apenas a decomposição trivial, ou seja, fatores primos.

Uma vez provada a existência da decomposição, devemos provar que essa é única:

Vamos supor que o número x admite duas decomposições em primos, de modo que \dpi{150} \large x=p_{1} e \dpi{150} \large x=q_{1}q_{2}...q_{s}. Chamaremos s de comprimento de x.

Então \dpi{150} \large p_{1}=q_{1}q_{2}...q_{s} como \dpi{150} \large q_{1} divide \dpi{150} \large q_{1}q_{2}...q_{s}, q_{1} divide \dpi{150} \large p_{1} e \dpi{150} \large p_{1} é primo, devemos ter \dpi{150} \large p_{1}=q_{1}. Cancelando dos dois lados da igualdade, teremos \dpi{150} \large 1=q_{2}...q_{s}. Assim, vemos que \dpi{150} \large s=1, pois se \dpi{150} \large s> 1, teríamos um produto de números primos resultado em 1, o que é um absurdo.

Assim, todo o número de comprimento 1 admite uma única decomposição.

Agora, suponha que, para algum k natural, números de comprimento k admita uma única decomposição. Sendo x tal que \dpi{150} \large x=p_{1}p_{2}...p_{k}p_{k+1}=q_{1}q_{2}...q_{s}, em que os fatores estão dispostos em ordem crescente, vamos provar que números de comprimento \dpi{150} \large k+1 admitem uma única decomposição.

\dpi{150} \large q_{1} divide \dpi{150} \large p_{1}p_{2}...p_{k+1}, então \dpi{150} \large q_{1} divide algum \dpi{150} \large p_{i}. Como ambos são primos, \dpi{150} \large q_{i}=p_{i}, e sabemos que \dpi{150} \large q_{1}\geq p_{1}, pois os números estão em ordem crescente. Da mesma forma, \dpi{150} \large p_{1} divide \dpi{150} \large q_{1}q_{2}...q_{s}, então \dpi{150} \large p_{1}=q_{j}, para algum j.

Desse modo, \dpi{150} \large p_{1}\geq q_{1}. Cancelando os dois valores na igualdade, teremos que \dpi{150} \large p_{2}...p_{k+1}=q_{2}...q_{s}.

Temos, assim, um número de comprimento \dpi{150} \large k(p_{2}...p_{k+1}), que, pela hipótese de indução, possui uma única decomposição. Concluímos, assim, que a decomposição de fatores primos de um número x qualquer existe e é única.

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CURSO PARA VESTIBULAR

Guilherme Reis

Guilherme Reis

Estudante cursando o 1º ano do curso de Engenharia Eletrônica no Instituto de Engenharia da Aeronáutica, o ITA, trilheiro e articulista no Estratégia Vestibulares.

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