Última atualizaçao em: 05 de Novembro de 2020, ás 19:44

AB+CD=AD+BC

O que diz o teorema

Um quadrilátero convexo ABCD é circunscritível se, e somente se, a soma dos lados opostos é a mesma, AB+CD=AD+BC.

Como é cobrado em prova?

Questão ITA 2015

Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados P Q e P R, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo P QR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a:

a) 5

b) 6

c) 8

d) 10

e) 15

Resolução Comentada

Utilizando as informações fornecidas, podemos construir a seguinte figura:

Queremos o perímetro do triângulo PMN, logo queremos a soma s=PM+MN+NP. O quadrilátero MNRQ é circunscritível, então podemos aplicar nele o teorema de Pitot:

MN + QR = MQ + NR. Somando PM+PN em ambos os lados da igualdade, obtemos:

PM+PN+MN+QR=PM+PN+MQ+NR (*).

Do lado esquerdo da igualdade, temos exatamente a soma s desejada, mais QR. Do lado direito, temos PM+MQ+PN+NR.

Mas PM+MQ=PQ e PN+NR=PR, e sabemos que PQ+PR+QR=25.

Como foi dado que QR=10, PQ+PR=15. Substituindo todas essas informações na expressão (*), chegamos em:

s+QR=15 → s+10=15 → s=5

Demonstração e Curiosidades

A demonstração do teorema decorre da propriedade de segumentos tangentes a uma circunferência:

Temos que, como PA e PB tangenciam a circunferência, PA=PB. Isso pode ser provado utilizando congruência de triângulos: \dpi{150} \large \Delta PAO\equiv \Delta PBO, pois \dpi{150} \large OA=OB= Raio da Circunferência, compartilham o lado PO e são triângulos retângulos.

Ao analisar um quadrilátero circunscritível, vemos que podemos utilizar essa propriedade diversas vezes. Com isso, obtemos:

AH=AE=x, EB=BF=y, FC=CG=z, GD=DH=w.

Assim, AD+BC=x+w+y+z e AB+DC=x+y+w+z. Então, vemos que AD+BC=AB+CD. O teorema de Pitot recebeu esse nome em homenagem a Henri Pitot, engenheiro francês responsável por diversos estudos na área de hidrodinâmica.

Também em sua homenagem, foram nomeados os tubos de Pipot, dispositivos que podem ser usados para medir a velocidade de escoamento de um fluido. Esses dispositivos são usados até hoje em aviões, para medir a velocidade do avião em relação ao vento.

Figura 1: Henri Pitot

CURSO PARA VESTIBULAR

0 Shares:
Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Você pode gostar também