Última atualizaçao em: 05 de Novembro de 2020, ás 19:30

Olá, pessoal… Tudo bem? Sou o prof. Marçal Ferreira, professor de Matemática do Estratégia Vestibulares. Escrevo este artigo para resolver as questões da prova da 2ª Fase do vestibular da UNESP 2020. Nesta página, você vai conferir a resolução completa e ainda vai poder baixar gratuitamente os comentários em PDF.

UNESP 2ª Fase – Matemática

Questão 22

Um grupo de cientistas estuda os hábitos de uma espécie animal em uma área de preservação. Inicialmente, delimitou-se uma área plana (ABCD, figura 1), na qual deverão ser estabelecidos dois pontos de observação. Afigura 2 apresenta um modelo matemático da área delimitada, com dois setores retangulares nos quais serão estabelecidos os pontos de observação, sendo que cada ponto de observação deverá pertencer a apenas um dos setores. Parte do grupo de cientistas ocupar-se-á exclusivamente com os hábitos de reprodução dessa espécie e atuará na região em forma de paralelogramo, indicada na figura 3.

a) Para a construção dos dois pontos de observação, considere que a localização do ponto do setor I deverá ser equidistante dos pontos A e B e que a localização do ponto do setor II deverá ser equidistante dos pontos B e C. Utilizando as coordenadas do plano cartesiano da figura 2, determine uma possível localização do ponto de observação para cada um dos setores.

b) Dado que 1 unidade de distância dos planos cartesianos equivale a 200 metros de distância real, determine o perímetro da região em que serão estudados os hábitos de reprodução da espécie (figura 3).

Resolução

a) Para a construção dos dois pontos de observação, considere que a localização do ponto do setor I deverá ser equidistante dos pontos A e B e que a localização do ponto do setor II deverá ser equidistante dos pontos B e C. Utilizando as coordenadas do plano cartesiano da figura 2, determine uma possível localização do ponto de observação para cada um dos setores.

Os pontos equidistantes de A e de B são dados pela reta y=4. Como, pelo enunciado, o setor I tem valores de x tais que 1<x<3, uma possível localização do ponto de observação é (2;4).

Os pontos equidistantes de B e de C são dados pela reta x=7,5. Como, pelo enunciado, o setor II tem valores de y tais que 5<y<7, uma possível localização do ponto de observação é (7,5;6).

b) Dado que 1 unidade de distância dos planos cartesianos equivale a 200 metros de distância real, determine o perímetro da região em que serão estudados os hábitos de reprodução da espécie (figura 3).

As coordenadas dos pontos D,E,F,G são:

D = (9; 0)

G = (13,5; 6)

F = (9; 6)

E = (4,5 ; 0)

Chamando x a distância DG, temos:

\large x^2=6^2+{4,5}^2

\large x^2=36+20,25

\large x^2=56,25

\large x=7,5

Dessa forma, o perímetro P, em metros, é dado por:

\large P=\left(2x+2\cdot4,5\right)\cdot200

\large P=\left(2\cdot7,5+2\cdot4,5\right)\cdot200

\large P=\left(15+9\right)\cdot200

\large P=24\cdot200

\large P=4800\ m

Questão 23

A modelagem dos sistemas de cor é essencial na computação gráfica, e um dos maiores desafios dessa área é a conversão de coordenadas de diferentes sistemas. O sistema RGB pressupõe que o sistema de processamento de cor do olho humano seja baseado nas faixas vermelha (red). verde (green) e azul (blue) do espectro visível Já o modelo CMY usa cores complementares, ciano (cyan), magenta (magenta) e amarelo (yellow), e foi importante no desenvolvimento de impressoras As cores no sistema CMY ficam delimitadas por um cubo, o cubo CMY, conforme ilustrado

a) A transformação de uma cor no sistema RGB, descrita por (r, g, b), para o sistema CMY, descrita por (c, m, y), é dada por \large \left[\begin{matrix}c\\m\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}r\\g\\b\\\end{matrix}\right]. Supondo que uma cor no sistema RGB seja descrita por \large \left(\frac{1}{4},\frac{1}{100},0\right), apresente as coordenadas dessa cor o sistema CMY e indique qual das oito cores detalhadas no cubo CMY está mais próxima dela.

b) O sistema NTSC (National Television Standards Committee), utilizado em emissões para a televisão, baseia-se na separação dos sinais de cor RGB em um sinal de luminosidade e dois sinais de cromaticidade Assim como no espaço RGB, as cores no espaço YIQ, utilizado no sistema NTSC, são descritas por coordenadas, sendo representadas por (y, i, q). A relação entre as cores desses dois sistemas é dada, de modo simplificado, pela expressão matricial:

\large \left[\begin{matrix}y\\i\\q\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,3&2\beta&\gamma\\3\alpha&-\beta&-0,3\\\alpha&-0,5&-3\gamma\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}r\\g\\b\\\end{matrix}\right]

Sabendo que uma cor no sistema RGB descrita por (0,2; 0,5, 0,4) está associada a uma cor no sistema YIQ descrita por (0,4, -0,15; -0,33), determine \large \alpha, \large \beta e \large \gamma.

Resolução

a) Utilizando a equação matricial fornecida no enunciado, temos:

\large \left[\begin{matrix}c\\m\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}r\\g\\b\\\end{matrix}\right]

\large \left[\begin{matrix}c\\m\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{100}\\0\\\end{matrix}\right]

\large \left[\begin{matrix}c\\m\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{99}{100}\\0\\\end{matrix}\right]

\large \left[\begin{matrix}c\\m\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,75\\0,99\\0\\\end{matrix}\right]\rightarrow\left[\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}\right]=Preto

Assim, as coordenadas dessa cor no sistema CMY são \large \left[\begin{matrix}0,75\\0,99\\0\\\end{matrix}\right] e a cor no cubo que está mais próxima dela é o preto.

b) Utilizando a equação matricial fornecida, temos:

\large \left[\begin{matrix}y\\i\\q\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,3&2\beta&\gamma\\3\alpha&-\beta&-0,3\\\alpha&-0,5&-3\gamma\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}r\\g\\b\\\end{matrix}\right]

\large \left[\begin{matrix}0,4\\-0,15\\-0,33\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,3&2\beta&\gamma\\3\alpha&-\beta&-0,3\\\alpha&-0,5&-3\gamma\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}0,2\\0,5\\0,4\\\end{matrix}\right]

\large \left[\begin{matrix}0,4\\-0,15\\-0,33\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,06+\beta+0,4\gamma\\0,6\alpha-0,5\beta-0,12\\0,2\alpha-0,25-1,2\gamma\\\end{matrix}\right]

\large \left\{\begin{matrix}0,06+\beta+0,4\gamma=0,4\\0,6\alpha-0,5\beta-0,12=-0,15\\0,2\alpha-0,25-1,2\gamma=-0,33\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \left\{\begin{matrix}\beta+0,4\gamma=0,34\\0,6\alpha-0,5\beta=-0,03\\0,2\alpha-1,2\gamma=-0,08\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\0,6\alpha-0,5\beta=-0,03\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \rightarrow\left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\0,6\cdot\left(\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\right)-0,5\cdot\left(0,34-0,4\gamma\right)=-0,03\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \rightarrow\left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\-0,24+3,6\gamma-0,17+0,2\gamma=-0,03\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\3,8\gamma=0,41-0,03\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\3,8\gamma=0,38\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \rightarrow\left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\gamma\\\gamma=0,1\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\gamma}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow

\large \left\{\begin{matrix}\beta=0,34-0,4\cdot0,1\\\gamma=0,1\\\alpha=\frac{-0,08+1,2\cdot0,1}{0,2}\\\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}\beta=0,3\\\gamma=0,1\\\alpha=0,2\\\end{matrix}\right.

Assim, os valores de \large \alpha, \large \beta e \large \gamma são tais que \large \left\{\begin{matrix}\beta=0,3\\\gamma=0,1\\\alpha=0,2\\\end{matrix}\right..

Questão 24

A penicilina benzatina é um antibiótico indicado no tratamento de certas infecções, e sua meia-vida é de 336 horas. Ou seja, após esse período de tempo a quantidade de medicamento no sangue reduz-se pela metade. O tratamento convencional é feito com uma aplicação de 1200000 Ul do medicamento e essa dose mantém-se em quantidade adequada no sangue (isto é, não inferior a 300000 Ul) durante os 28 dias seguintes. A dosagem, o número de doses e o intervalo de tempo entre as doses depende da doença a ser tratada.

a) Considere um paciente que recebeu 2 doses, cada uma de 1200000 Ul, desse medicamento, sendo que a segunda dose foi aplicada 28 dias após a primeira dose. Faça um esboço gráfico na malha presente no campo de Resolução e Resposta, representando a quantidade desse medicamento no sangue ao longo de 8 semanas de tratamento.

b) Considere outro caso, em que um paciente foi tratado com 2 doses, cada uma de 2400000 Ul, de penicilina benzatina, sendo a segunda dose aplicada 14 dias após a primeira. Determine a quantidade desse medicamento no sangue do paciente, em Ul, logo após ele tomar a segunda dose e indique durante quantos dias completos, após essa segunda dose, a quantidade de medicamento permanecerá em quantidade adequada no sangue desse paciente. Adote em seus cálculos log2 = 0,30; log3 = 0,48

Resolução

O tempo de meia vida de  horas é equivalente a \large \frac{336}{24} dias, ou seja, 14 dias, ou ainda,  semanas.

Dessa forma, a progressão em UI a cada duas semanas é a seguinte:

\large semana\ 0=1\ 200\ 000

\large semana\ 2=600\ 000

\large semana\ 4=300\ 000+1\ 200\ 000=1\ 500\ 000

\large semana\ 6=150\ 000+600\ 000=750\ 000

\large semana\ 8=150\ 000+300\ 000=375\ 000

Colocando esses valores no gráfico, temos:

b) Inicialmente, temos a seguinte progressão:

\large semana\ 0=2\ 400\ 000

\large semana\ 2=1\ 200\ 000+2\ 400\ 000=3\ 600\ 000

Assim, a quantidade desse medicamento no sangue do paciente, em UI, logo após ele tomar a segunda dose é de 3 600 000 UI.

Calculando a quantidade n de períodos de meia vida para que a concentração não seja superior a 300 000 UI:

\large 3\ 600\ 000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n\geq300\ 000

\large 12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n\geq1

\large \left(\frac{1}{2}\right)^n\geq\frac{1}{12}

\large log\left(\frac{1}{2}\right)^n\geq\log{\left(\frac{1}{12}\right)}

\large n\cdot log\left(\frac{1}{2}\right)\geq\log{\left(\frac{1}{12}\right)}

\large n\cdot\left(log1-\log{2}\right)\geq\left(log1-\log{12}\right)

\large n\cdot\left(log1-\log{2}\right)\geq\left(log1-\log{2^2}-\log{3}\right)

\large n\cdot\left(0-0,3\right)\geq\left(0-2\cdot0,3-0,48\right)

\large -0,3n\geq-0,6-0,48

\large n\le\frac{-1,08}{-0,3}

\large n\le3,6\ periodos

Como cada período de meia vida é de 14 dias, temos:

\large n\le3,6\cdot14\ dias

\large n\le50,4\ dias

Assim, a quantidade permanece adequada até 50 dias após o paciente tomar a segunda dose.

É isso, pessoal! Espero que tenham curtido a resolução da prova de Matemática da prova do Vestibular UNESP 2020. Sigam-me nas redes sociais. Têm muitas dicas lá. Mande uma mensagem, caso tenha tido alguma dúvida.

Você também pode baixar essa resolução em PDF. Basta clicar no link a seguir. Abraços!

Abraços!

Instagram: @professor.marcal

CURSOS PARA UNESP

0 Shares:
Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Você pode gostar também