Última atualizaçao em: 05 de Novembro de 2020, ás 19:42

O princípio da indução finita ou simplesmente indução é um método matemático que pode ser utilizado para demonstrar proposições feitas no domínio dos números naturais. O método consiste em seguir os seguintes passos, para uma dada proposição:

  1. Passo inicial: provar que a proposição é válida para o menor valor de n.
  2. Passo indutivo: assumido que a proposição é válida para um certo \dpi{150} \large k\in \mathbb{N} e provar, a partir disso, que a proposição seria válida para o próximo termo, ou seja, o termo \dpi{150} \large k+1.

Vejamos um exemplo para entender melhor:

Exemplo

Demonstre que \dpi{150} \large 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

Passo Inicial:

Vamos testar para \dpi{150} \large n=1:

\dpi{150} \large 1=\frac{1(1+1)}{2}  (ok)

Passo indutivo:

Suponha que, para um certo k:

\dpi{150} \large 1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}

Vamos analisar a soma \dpi{150} \large 1+2+...+k+(k+1).

Utilizando a hipótese de indução, temos que

\dpi{100} \large 1+2+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}

Desse modo:

\dpi{100} \large 1+2+...+k+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}, o que prova nossa hipótese de indução e também a proposição.

Esse método é válido para provar uma proposição pois o passo indutivo prova que se o enunciado é válido para um número qualquer, então é válido para o próximo. A isso, associa-se o passo inicial, que provou que a proposição é válida para o menor número possível. Desse modo, é possível chegar em qualquer outro número a partir daí.

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