Resolução da prova de Matemática da 2ª Fase da Fuvest 2020

Olá, pessoal… Tudo bem? Sou o prof. Marçal Ferreira, professor de Matemática do Estratégia Vestibulares. Escrevo este artigo para resolver as questões da prova da 2ª Fase do vestibular da FUVET 2020. Nesta página, você vai conferir a resolução completa e ainda vai poder baixar gratuitamente os comentários em PDF.

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Questão 01

A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 x 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado n x n, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n?

Gabarito

a) Iniciando a contagem em qualquer posição, temos um quadrado de 3×3 genérico da forma:

$\large \begin{matrix}x&x+1&x+2\\x+7&x+8&x+9\\x+14&x+15&x+16\\\end{matrix}$

$\large Soma=9x+1+2+7+8+9+14+15+16$

$\large Soma=9x+72$

$\large Soma=9\cdot\left(x+8\right)$

Dessa forma, a soma sempre será um múltiplo de nove.

b) De maneira similar ao anterior, temos:

$\large \begin{matrix}x&x+1&x+2&x+3\\x+7&x+8&x+9&x+10\\x+14&x+15&x+16&x+17\\x+21&x+22&x+23&x+24\\\end{matrix}$

$\large 16x+192=1056$

$\large 16x=864$

$\large x=54$

c) O quadrado em questão é do tipo:

$\large \begin{matrix}4&5&6&7&\cdots&4+n-1\\11&12&13&14&\cdots&11+n-1\\18&19&20&21&\cdots&18+n-1\\25&26&27&28&\cdots&25+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large \begin{matrix}4&4+1&4+2&4+3&\cdots&4+n-1\\4+7&4+8&4+9&4+10&\cdots&4+7+n-1\\4+14&4+15&4+16&4+17&\cdots&4+14+n-1\\4+21&4+22&4+23&4+24&\cdots&4+21+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large 4n^2+\begin{matrix}0&1&2&3&\cdots&n-1\\7&7+1&7+2&7+3&\cdots&7+n-1\\7\cdot2&7\cdot2+1&7\cdot2+2&7\cdot2+3&\cdots&7\cdot2+n-1\\7\cdot3&7\cdot3+1&7\cdot3+2&7\cdot3+3&\cdots&7\cdot3+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large 4n^2+\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n+$

$\large +\left(0+7+7\cdot1+7\cdot2+7\cdot3+\ldots+7\cdot\left(n-1\right)\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n+$

$\large +7\cdot\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+8\cdot\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+8\cdot\left(n-1\right)\cdot\frac{n}{2}\cdot n=108000$

$\large 4n^2+4n^3-4n^2=108000$

$\large 4n^3=108000$

$\large n^3=27000$

$\large n=30$

Questão 02

O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Gabarito

a) $\large N\left(p\right)=3\cdot\left(4\right)^p$

$\large N\left(3\right)=3\cdot\left(4\right)^3$

$\large N\left(3\right)=3\cdot2^6$

$\large N\left(3\right)=192$

b) $\large P\left(p\right)=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^p$

$\large P\left(5\right)=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^5$

$\large P\left(5\right)=3\cdot\frac{2^{10}}{3^5}$

$\large P\left(5\right)=\frac{2^{10}}{3^4}$

c) $\large N\left(p\right)=3\cdot\left(4\right)^p$

$3\cdot\left(4\right)^p>6\cdot{10}^{12}” alt=”\large 3\cdot\left(4\right)^p>6\cdot{10}^{12}” align=”absmiddle”></p><p><img decoding=$ Questão 03

Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória.

O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.

a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber?

b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?

c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

Gabarito

a) $\large C_{16,8}=\left(\begin{matrix}16\\8\\\end{matrix}\right)=\frac{16!}{8!\cdot8!}$

$\large C_{16,8}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$

$\large C_{16,8}=13\cdot11\cdot10\cdot9$

$\large C_{16,8}=12870$

b) $\large P=\frac{\left(\begin{matrix}12\\2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4\\2\\\end{matrix}\right)}{\left(\begin{matrix}16\\8\\\end{matrix}\right)}$

$\large P=\frac{924\cdot6}{12870}$

$\large P=\frac{28}{65}$

c) $\large P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7+P_8\geq26$

As coleções possíveis são:

$\large 28\ pontos$

$\large 4\ estrelas+4\ quadrados$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,4}$

$\large 1\cdot1$

$\large 1$

$\large 27\ pontos$

$\large 4\ estrelas+3\ quadrados+1\ triangulo$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,3}\cdot C_{4,1}$

$\large 1\cdot4\cdot4$

$\large 16$

$\large 26\ pontos$

$\large 4\ estrelas+3\ quadrados+1\ circulo$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,3}\cdot C_{4,1}$

$\large 1\cdot4\cdot4$

~~$\large 16$~~

$\large 26\ pontos$

$\large 4\ estrelas+2\ quadrados+2\ triangulos$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,2}\cdot C_{4,2}$

$\large 1\cdot6\cdot6$

$\large 36$

$\large 26\ pontos$

$\large 3\ estrelas+4\ quadrados+1\ triangulos$

$\large C_{4,3}\cdot C_{4,4}\cdot C_{4,1}$

$\large 4\cdot1\cdot4$

$\large 16$

$\large N=1+16+16+36+16$

$\large N=85$

Questão 04

São dados:

• uma circunferência S de centro 0 e raio 5;

• quatro pontos X, Y, Z e W em 5 de tal forma que as retas tangentes a S nesses pontos formam um trapézio ABCD, como na figura;

• $\large sen\ (BÂW)= \frac{3}{5}\ e\ CD=15$ .

a) a medida de $\large \overline{AB}$ ;

b) a medida de $\large \overline{AW}$ e $\large \overline{AX}$ ;

c) a área da região delimitada pelo trapézio ABCD.

Gabarito

a) $\large sen\alpha=\frac{3}{5}$

$\large sen\alpha=\frac{co}{hip}=\frac{2R}{AB}$

$\large \frac{3}{5}=\frac{2R}{AB}$

$\large AB=\frac{50}{3}$

b) $\large sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{R}{AW}$

$\large AW=\frac{R}{sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large sen^2\alpha+\cos^2{\alpha}=1$

$\large sen\alpha=\frac{3}{5}$

$\large cos\ \alpha=\frac{4}{5}$

$\large tg\left(\alpha\right)=\frac{sen\alpha}{cos\ \alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{\cancel 5}\cdot\frac{\cancel 5}{4}=\frac{3}{4}$

$\large tg\left(2x\right)=\frac{2\cdot t g\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}$

$\large tg\left(\alpha\right)=\frac{2\cdot t g\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large \frac{3}{4}=\frac{2\cdot t g\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large 3\cdot\left(1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=4\cdot2\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\large 3-3\cdot tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=4\cdot2\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\large 3\cdot tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)+8\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)-3=0$

$\large \Delta = 8^2-4\cdot 3\cdot \left(-3\right)=64+36=100$

$\large tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{-8\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}==\left\{\begin{matrix} tg'\left ( \frac{\alpha }{2} \right )=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3} & \\ & \\ & \\ tg''\left ( \frac{\alpha }{2} \right )==\frac{-8-10}{6}={\cancel{-3}}\end{matrix}\right.$

Não há tangente negativa.

$\large AW=\frac{R}{tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large AW=\frac{5}{\frac{1}{3}}$

$\large AW=15$

$\large AX=15$

c) $\large S=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}$

$\large S=\frac{\left(AD+BC\right)\cdot2R}{2}$

$\large S=\left(AB+CD\right)\cdot R$

$\large S=\left(\frac{50}{3}+15\right)\cdot5$

$\large S=\frac{475}{3}$

Questão 05

É dada a função $\large f:\left[0;\pi\right]\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $\large f\left(x\right)=sen^4x+\cos^4{x}$ para todo $\large x\in\left[0;\pi\right]$ .

a) Apresente três valores $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=1$ .

b) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$ .

c) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$ .

Gabarito

a) Apresente três valores $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=1$ .

$\large f\left(x\right)=1$

$\large sen^4x+\cos^4{x}=1$

$\large sen^2x+\cos^2{x}=1$

$\large \left(sen^2x+\cos^2{x}\right)^2=1^2$

$\large sen^4x+2\cdot sen^2x\cdot\cos^2{x}+\cos^4{x}=1$

$\large f\left(x\right)+2\cdot sen^2x\cdot\cos^2{x}=1$

$\large f\left(x\right)+2\cdot sen\ x\cdot\cos{x}\cdot sen\ x\cdot\cos{x}=1$

$\large f\left(x\right)+sen\ 2x\cdot\frac{sen\ 2x}{2}=1$

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large 1+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{sen^2\ 2x}{2}=0$

$\large sen^2\ 2x=0$

$\large sen\ 2x=0$

$\large 2x=k\cdot\pi$

$\large x=\frac{k\cdot\pi}{2}$

$\large x=0;\frac{\pi}{2};\pi$

b) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$ .

$\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{5}{8}+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{sen^2\ 2x}{2}=\frac{3}{8}$

$\large sen^2\ 2x=\frac{3}{4}$

$\large sen\ 2x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$

$\large 2x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi$

$\large x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$

$\large \left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right\}$

c) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$ .

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large f\left(x\right)=1-\frac{sen^2\ 2x}{2}$

$\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large \frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{sen^2\ 2x}{2}\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large \frac{1}{2}-\frac{sen^2\ 2x}{4}+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large 4-2\cdot sen^2\ 2x+3\cdot sen\left(2x\right)\geq5$

$\large -4+2\cdot sen^2\ 2x-3\cdot sen\left(2x\right)\le-5$

$\large 2\cdot sen^2\ 2x-3\cdot sen\left(2x\right)+1\le0$

$\large \Delta \left(-3\right)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$

$\large sen\left(2x\right)=\frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt1}{2\cdot2}=\left\{\begin{matrix}sen'\left(2x\right)=\frac{3+1}{4}=1\\\ \\sen''\left(2x\right)=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\\end{matrix}\right.$

$\large \frac{1}{2}\le sen\ \left(2x\right)\le1$

$\large \frac{\pi}{6}\le2x\le\frac{5\pi}{6}$

$\large \frac{\pi}{12}\le x\le\frac{5\pi}{12}$

Questão 06

Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que cumprem a condição $\large Re(z)=Im(z)$ . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que $\large z\ \neq-1$ e para os quais $\large \frac{z-1}{z+1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Gabarito

$\large z=a+b\cdot i$

$\large Re\left(z\right)=Im\left(z\right)$

$\large a=b$

$\large z=a+a\cdot i$

$\large \bar{z}=a-a\cdot i$

$\large \alpha=-45\degree$

$\large \frac{z-1}{z+1}$

$\large \frac{a+b\cdot i-1}{a+b\cdot i+1}$

$\large \frac{\left(a-1\right)+b\cdot i}{\left(a+1\right)+b\cdot i}\cdot\frac{\left(a+1\right)-b\cdot i}{\left(a+1\right)-b\cdot i}$

$\large \frac{a^2+b^2-1+2\cdot b\cdot i}{\left(a+1\right)^2+b^2}$

$\large \frac{a^2+b^2-1}{\left(a+1\right)^2+b^2}+\frac{2\cdot b\cdot i}{\left(a+1\right)^2+b^2}$

$\large \frac{a^2+b^2-1}{\left(a+1\right)^2+b^2}=0$

$\large a^2+b^2-1=0$

$\large a^2+b^2=1$

$\large z\neq-1$

Lugar Geométrico é uma circunferência com centro na origem, exceto o ponto z=-1.

$\large d=\sqrt2$

$\large \sqrt{\left(1-x\right)^2+\left(0-x\right)^2}=\sqrt2$

$\large \left(1-x\right)^2+x^2=2$

$\large 1-2x+x^2+x^2=2$

$\large 2x^2-2x-1=0$

$\large \Delta =\left(-2\right)^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=4+8=12$

$\large x=\frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{12}}{2\cdot2}=\left\{\begin{matrix}x^\prime=\frac{2+2\sqrt3}{4}=\frac{1+\sqrt3}{2}\\\ \\x^{\prime\prime}=\frac{2-2\sqrt3}{4}=\frac{1-\sqrt3}{2}\\\end{matrix}\right.$

$\large \frac{1+\sqrt3}{2}\ e\ \frac{1-\sqrt3}{2}$

É isso, pessoal! Espero que tenham curtido a resolução da prova de Matemática da prova do Vestibular FUVEST 2020, 2ª Fase. Sigam-me nas redes sociais. Têm muitas dicas lá. Mande uma mensagem, caso tenha tido alguma dúvida.

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CURSOS PARA FUVEST

Resolução da prova de Matemática da 2ª Fase da Fuvest 2020

Questão 01

Gabarito

Questão 02

Gabarito

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Questão 04

Gabarito

Questão 05

Gabarito

Questão 06

Gabarito

Raquel Oshio

Gabarito da prova de História da 2ª Fase da Fuvest 2020

Como resolver as questões de Física da 2ª Fase da Fuvest 2020

Retas: o que são, geometria, classificação e aspectos gerais

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