O começo da história dos números complexos remonta da época em que as equações do segundo grau começaram a ser estudadas. Isso porque, algumas das equações apresentavam soluções claras, como a equação \dpi{150} \large x^{2}-5x+6=0, que tem como soluções 2 e 3. Enquanto outras equações, como \dpi{150} \large x^{2}+x+1=0 pareciam não possuir soluções.

Contudo, na época, esses casos não recebiam muita atenção, simplesmente se admitia que a equação não possuía soluções.

Posteriormente, quando os matemáticos estudavam equações cúbicas, os italianos Scipione del Ferro e Tartaglia desenvolveram uma fórmula para resolver equações da forma \dpi{150} \large x^{3}+px+q=0, encontrando a seguinte fórmula para a solução:

\dpi{150} \large x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}
História dos números complexos
Niccolò Fontana, matemático italiano cujo pseudônimo era Tartaglia

Utilizando essa fórmula para resolver equações, um problema interessante surgiu. Analisemos, por exemplo, a equação \dpi{150} \large x^{3}=15x+4. Utilizando fatoração, podemos encontrar as três raízes, que são \dpi{150} \large 4, -2 ,\sqrt{3} e \dpi{150} \large -2+\sqrt{3}. Contudo, utilizando a fórmula de Tartaglia, chegamos que uma das soluções deveria ser \dpi{150} \large \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}, um número que envolve a raiz quadrada de um número negativo.

O matemático Rafael Bombelli experimentou tratá-los como números comuns e utilizar técnicas de fatoração para desenvolver esses números, e foi capas de concluir que, na verdade, \dpi{150} \large \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=4.

Esse foi o início do tratamento algébrico desse tipo de número. Inicialmente, eles eram usados apenas como artifício para a solução de problemas, mas, com os trabalhos de Abraham de Moivre, Euler e, posteriormente, Gauss, os números complexos passaram a ser entendidos como um conjunto numérico, que foi mais formalmente estruturado por esses matemáticos.

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