O formato e silhueta dos objetos é foco do trabalho de diversos artistas e profissionais do universo audiovisual. Assim como a distância entre dois pontos é importante para engenheiros e arquitetos e como a tridimensionalidade é relevante na construção de uma casa. Em todos esses aspectos, a geometria apresenta-se como um pilar que sustenta o desenvolvimento de muitas atividades cotidianas. 

Para te ajudar a entender os principais conceitos de geometria plana, espacial e analítica, o Estratégia Vestibulares construiu um resumo que facilita seu entendimento e te guia nos estudos pré-prova. Além disso, ao final do texto, teste sua retenção do conteúdo com questões resolvidas pelo nosso time. Confira!

O que é geometria?

A palavra geometria remete aos vocábulos gregos “geo” (terra) e “metron” (medir), que juntos significam “medir a terra”. Por isso, a resposta para a pergunta “o que é geometria?” pode ser sintetizada como: a área da matemática se destina ao estudo das distâncias e grandezas em termos de espaço, área, volume e forma.

Para compreender essa ciência, é importante adquirir uma noção básica das propriedades de um corpo, como sua posição no espaço, suas dimensões e a relação entre essas vertentes.

De modo semelhante, é necessário conhecer os principais conceitos da geometria. A seguir, veja uma lista que os sintetiza: 

  • Ponto: é uma definição abstrata e não pode ser demonstrada. Apesar disso, é o símbolo representativo para uma indicação que não apresenta dimensões significativas. Para identificá-lo matematicamente, utiliza-se uma letra maiúscula;
  • Reta: é um ente geométrico em que o comprimento é a única dimensão significativa. Em sua definição principal, a reta é infinita e contém infinitos pontos distribuídos por toda sua extensão. Geralmente, uma letra minúscula é o símbolo utilizado para representá-la;
  • Semirreta: pode ser definida como uma reta em que se identifica o ponto de início, mas o comprimento é infinito em um único sentido e direção. Por isso, possui infinitos pontos em sua dimensão;
  • Segmento de reta: surge quando, dentro de uma reta pré estabelecida, selecionam-se dois pontos significativos que delimitam um fragmento; 
  • Ângulo: grandeza matemática que quantifica a amplitude entre duas retas, segmentos de retas, semirretas ou planos. Seu valor é expressado em graus e é muito importante na construção e entendimento das figuras geométricas;
  • Plano: é um conceito da geometria que apresenta duas dimensões e é representado com letras gregas. Por exemplo, se pensarmos na superfície de um espelho, sabe-se que existe ali um plano principal e diversos outros sendo projetados.

Agora que você já conhece as definições e conceitos mais importantes da geometria, compreenda melhor com a imagem abaixo:

o que é geometria?

Classificações da Geometria

A geometria também pode ser dividida e classificada conforme os conceitos que estuda e a forma como as grandezas são expressas e quantificadas. 

As três vertentes da geometria existentes são a geometria plana, a geometria analítica e a geometria espacial. Conheça-as com mais detalhes nos tópicos a seguir:

Plana

A geometria plana, também chamada de geometria euclidiana, estuda as figuras geométricas que não apresentam volume, apenas comprimento e largura. Como o triângulo, o retângulo, o quadrado, o trapézio, o círculo, o losango, entre outros.

Nesse sentido, existem as formas poligonais e as formas não poligonais. Os polígonos são figuras planas que apresentam segmentos de retas como lados que não se cruzam e podem ser contados, além de serem uma figura fechada. Na imagem abaixo, por exemplo, esses lados estão quantificados:

geometria plana

Os não polígonos são figuras geométricas que apresentam lados curvos, não são fechados ou possuem segmentos de retas que se cruzam, como no exemplo abaixo:

geometria plana - polígonos

Espacial

A geometria espacial, por sua vez, está relacionada com as figuras que apresentam as três dimensões: comprimento, largura e altura. Elas também podem ser chamadas de figuras não planas  ou sólidos geométricos.

Geralmente, essa área da matemática foca no entendimento do volume, posição e área desses sólidos. Eles também podem ser divididos em dois grupos principais: poliedros e não poliedros. 

Nesse caso, os poliedros apresentam lados como segmentos de retas e áreas planas, como os cubos, paralelepípedos, pirâmides, tetraedros, entre outros. Os sólidos geométricos não poliédricos, por outro lado, apresentam pelo menos uma face curva. Na imagem abaixo, veja exemplos.

geometria espacial

Analítica

A geometria analítica, em seu desenvolvimento, estuda as figuras geométricas por meio da álgebra e do plano cartesiano. Assim como nas outras classificações, é possível abranger os conceitos de ponto, área, volume, retas, distâncias, planos e outros por meio de equações e fórmulas pré-estabelecidas.

Por exemplo, representar um ponto em geometria analítica requer as coordenadas correspondentes, como na imagem:

Perceba que para localizar o ponto M será necessário considerar que ele se encontra na abcissa x=-2 e ordenada y=1. Nesse caso, a notação é: M(-2,1) e representa a dimensão analítica do ponto geométrico M. 

Questão de Geometria

Agora que você já conhece as principais propriedades e classificações, confira a questão de geometria que apareceu na prova da Olimpíada Brasileira de Matemática nas Escolas Públicas. Ao final, compreenda a resposta com a resolução proposta pelo time do Estratégia.

OBMEP 2005

Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

a)  4 m
b)  7 m
c)  11 m
d)  17 m
e)  28 m

Nos conceitos da geometria plana, sabe-se que o retângulo é um polígono com dois pares de lados, os pares são paralelos e de mesmo comprimento. Isso permite que o comprimento seja diferente da largura nessa figura.

A área do retângulo é fornecida pela fórmula: largura.comprimento=área
Por isso, utilizando as informações do enunciado, sabe-se que:

I) largura.comprimento=60 m2

Considerando que os 64 metros de arame foram suficientes para duas voltas no terreno, o que forma a cerca dupla, pode-se entender que:

(largura + largura + comprimento + comprimento).2=64m
2.largura + 2.comprimento = 32m
largura + comprimento =16m

II) largura = 16 – comprimento

Por meio da relação entre a equação I e a equação II, temos que:


16 – comprimento).comprimento=60
16.comprimento – comprimento2=60

III) 0 = comprimento2 – 16.comprimento + 60

Na fórmula de resolução de equações de segundo grau por meio da soma e produto das raízes, temos que:

x1+x2= -b/a    e x1.x2= c/a  

Na equação três: a=1, b= -16 e c=60, assim:

x1+x2= -b/a    
x1+x2= -(-16)/1
x1+x2= 16  e,

x1.x2= c/a  
x1.x2= 60  

Por meio do método de tentativa e erro, entende-se que os números possíveis para x1 e x2 são 10 e 6, pois:

10.6= 60 e 10+6=16

Como a soma entre a largura e o comprimento é igual a 16 e a multiplicação entre essas grandezas resulta em 60m2, pode-se afirmar que o retângulo do terreno possui as dimensões de 10m x 6m.

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