A Fórmula de De Moivre é utilizada para se realizar operações de potenciação e de radiciação com números complexos.

$\dpi{150} \large \dpi{150} \large z^{n}=|z|^{n}cis(n\theta )$

$\dpi{150} \large \sqrt[n]{|z|}cis(\frac{\theta +2k\pi}{n}),k=0 , 1, ..., n-1$

Vamos ver alguns conceitos iniciais necessários para entender as fórmulas:

Um número complexo é um número de forma $\dpi{150} \large z=a+bi$ , em que $\dpi{150} \large a, b \in \mathbb{R}$ e $\dpi{150} \large i^{2}=-1$ é a unidade imaginária. Esse número, se escrito dessa forma está em sua forma algébrica.

Outra forma de se interpretar os números complexos é exagerá-los como pares ordenados em um plano, o chamado Plano de Argand-Gauss. Nesse plano, colocamos a parte real dos números complexos no eixo das abscissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas.

Interpretando os números complexos dessa forma, podemos introduzir a forma trigonométrica dos números complexos, em que eles são dados por $\dpi{150} \large z=|z|(cos\theta +isen\theta )$ , e $\dpi{150} \large (cos\theta + isen\theta )$ pode ser abreviado por $\dpi{150} \large cis\theta$ , ou seja, $\dpi{150} \large z=|z|(cos\theta +isen\theta )=|z|cis\theta$ .

Nessa expressão, temos que, se o número na forma algébrica é dado por $\dpi{150} \large z=a+bi$ , então $\dpi{150} \large |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ é o módulo de z, $\dpi{150} \large cos\theta =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ e $\dpi{150} \large sen\theta =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ , em que $\dpi{150} \large \theta\in [0,2\pi ]$ ) é o argumento de z.

As fórmulas de De Moivre utilizam a forma trigonométrica dos números complexos para realizar operações de potenciação e radiciação.

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Primeira Fórmula de De Moivre

Potenciação

$\dpi{150} \large z^{n}=|z|^{n}cis(n\theta )$

Utiliza-se a primeira fórmula de De Moivre para calcular a n-ésima potência de um número complexo z. Para isso, basta elevar seu módulo à n-ésima potência e multiplicar seu argumento por n.

Segunda Fórmula de De Moivre

Radiciação

$\dpi{150} \large \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}cis (\frac{\theta +2k\pi }{n}),k=0,1,...,n-1$

A segunda fórmula de De Moivre nos diz que um número complexo z possui n raízes n-ésimas, dadas pela substituição dos valores de k por 0, 1… n-1.

Questão de Vestibular

ITA 2018

As raízes do polinômio $\dpi{150} \large 1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6}+z^{7}$ , quando representados no plano complexo, formam os vértices de um polígono complexo cuja área é:

a) $\dpi{150} \large \frac{\sqrt{2}-1}{2}$

b) $\dpi{150} \large \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

c) $\dpi{150} \large \sqrt{2}$

d) $\dpi{150} \large \frac{3\sqrt{2}+1}{2}$

e) $\dpi{150} \large 3\sqrt{2}$

Resolução comentada

Vamos, inicialmente, analisar o polinômio dado, para encontrarmos as raízes. Nota-se que, para $\dpi{150} \large z\neq 1$ , o polinômio pode ser visto como uma PG de razão z. Então podemos aplicar a fórmula de soma de PG para a soma $\dpi{150} \large 1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6}+z^{7}$ , e obtemos $\dpi{150} \large \frac{z^{2}-1}{z-1}$ . Queremos os valores de z para os quais essa expressão é nula, e para isso basta que $\dpi{150} \large z^{8}-1=0\rightarrow z^{8}=1$ .

Assim, vemos que as raízes do polinômio são as raízes oitavas de 1, ou seja, $\dpi{150} \large z=\sqrt[8]{1}$ .

Vamos aplicar a segunda fórmula de De Moivre, sabendo que o módulo do número real 1 é 1 e seu argumento é 0:

$\dpi{150} \large z=\sqrt[8]{1}\rightarrow z=cis(\frac{0+2k\pi }{8})\rightarrow z=cis(\frac{k\pi }{4})$ , com $\dpi{150} \large k=0,1,...,7$ .

Lembrando: supomos inicialmente que $\dpi{150} \large z\neq 1$ , o que exclui o caso $\dpi{150} \large k=0$ .

Sendo assim, as raízes do polinômio são $\dpi{150} \large cis(\frac{\pi }{4}), cis(\frac{2\pi }{4}),...,cis(\frac{7\pi }{4})$ .

No plano complexo, esses 7 números representam 7 pontos sobre uma circunferência na origem, e estão separados por ângulos de $\dpi{150} \large \frac{\pi }{4}$ , ou seja:

Para calcular a área desse polígono, basta dividir o polígono: Temos que o
centro da circunferência e os pontos 1 e 2 formam um triângulo de lados 1 e
ângulo central $\dpi{150} \large \frac{\pi }{4}$ . Assim, podemos calcular a área desse triângulo como

$\dpi{150} \large S_{1}=\frac{1}{2}\ast 1\ast 1\ast sen(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$ . Podemos formar triângulos idênticos a esse com os pontos 2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6, 6 e 7, ressaltando em 6 triângulos com o mesmo valor de área.

Resta, ainda, o triângulo formado pelos pontos 1 e 7, que formam um triângulo retângulo. Então, sua área é $\dpi{150} \large S_{2}=\frac{1}{2}\ast 1\ast 1=\frac{1}{2}$ .

A área total do polígono será, então, $\dpi{150} \large S_{t}=6S_{1}+S_{2}=6\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}$ .

Demonstração

Para demonstrar a primeira fórmula de De Moire, usaremos uma indução. Seja $\dpi{150} \large z=|z|(cos\theta +isen\theta )$ . Vamos analisar o que ocorre para $\dpi{150} \large z^{2}$ :

$\dpi{150} \large z^{2}=|z|^{2}(cos\theta + isen\theta )^{2}=|z|^{2}[cos^{2}\theta +2cos\theta \ast isen\theta+(isen\theta)^{2}]$

$\dpi{150} \large z^{2}=|z|^{2}[(cos^{2}\theta -sen^{2}\theta )]+i\ast (2sen\theta cos\theta )$

Das fórmulas de arcos duplos, sabemos que $\dpi{150} \large (cos^{2}\theta -sen^{2}\theta )=cos(2\theta )$ e $\dpi{150} \large 2sen\theta cos\theta = sen(2\theta )$ . Assim, $\dpi{150} \large z^{2}=|z|^{2}cis(2\theta )$ .

Suponha que, para um certo k, $\dpi{150} \large z^{k}=|z|^{k}cis(k\theta )$ . Analisemos $\dpi{150} \large z^{k}\ast z=z^{k+1}$ :

$\dpi{150} \large z^{k}*z=|z|^{k}(cos(k\theta )+isen(k\theta ))*|z|(cos\theta +isen\theta )$

$\dpi{150} \large z^{k+1}=|z|^{k+1}[cos(k\theta )cos\theta +i^{2}sen(k\theta )sen\theta +i(sen(k\theta )cos\theta +sen\theta cos(k\theta))]$

Das fórmulas de soma de arcos:

$\dpi{150} \large cosacosb -senasenb=cos(a+b)$ e $\dpi{150} \large senacosb + senbcoasa=sen(a+b)$ vemos que:

$\dpi{150} \large cos (k\theta )cos\theta +i^{2}sen(k\theta )sen\theta =cos (k\theta )cos\theta - sen(k\theta )sen\theta=cos[(k+1)\theta ]$

$\dpi{150} \large i[sen(k\theta )cos\theta +sen\theta cos(k\theta )]=isen[(k+1)\theta ]$ . Então: $\dpi{150} \large z^{k+1}=|z|^{k+1}cis[(k+1)\theta ]$ , o que conclui a demonstração.

Tendo demonstrado a primeira fórmula de De Moivre, podemos usá-la para demonstrar a segunda:

Suponha que $\dpi{150} \large z=|z|cis(\theta )$ e $\dpi{150} \large w=|w|cis\alpha$ , tal que $\dpi{150} \large w=\sqrt[n]{z}$ . Então, temos que: $\dpi{150} \large w^{n}=z$ . Aplicando a primeira fórmula de De Moivre para $\dpi{150} \large w^{n}$ :

$\dpi{150} \large w^{n}=|w|^{n}cis(n\alpha )=z=|z|cis\theta$ . A igualdade na forma trigonométrica implica que:

$\dpi{150} \large |w|^{n}=z\rightarrow |w|=\sqrt[n]{z}$ e $\dpi{150} \large cos\theta = cos(n\alpha )$ , $\dpi{150} \large sen\theta =sen(n\alpha )$ . Precisamos lembrar que a igualdade entre as funções trigonométricas não implica em igualdade direta entre os ângulos, pois as funções são periódicas. Ou seja:

$\dpi{150} \large n\alpha = \theta + 2k\pi \rightarrow \alpha =\frac{\theta +2k\pi }{n}$ . Como os argumentos dos números complexos são definidos no intervalo $\dpi{150} \large [0,2\pi )$ , só faz sentido tomar os valores de k até n-1, já que para k = n o argumento superaria $\dpi{150} \large 2\pi$ .

Assim:

$\dpi{150} \large w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}cis(\frac{0+2k\pi }{n})$ , para k = 0,1, …, n-1.

As fórmulas de De Moivre foram nomeadas em homenagem a Abraham De Moivre, matemático francês com diversos estudos relacionados não só aos números complexos, mas também à trigonometria e à estatística.

Por conta de conflitos na França referentes a perseguições religiosas, De Moivre deixou a França em 1685 e foi para a Inglaterra, onde se tornou membro da Royal Society e continuou a desenvolver seus estudos, principalmente na área de análise de riscos e expectativas.

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Fórmula de De Moivre: conceito e como é cobrado em prova?