Última atualizaçao em: 05 de Novembro de 2020, ás 19:46

Os Axiomas de Peano são um conjunto de preposições envolvendo números naturais que são utilizados como base de diversas áreas da teoria dos números.

Axiomas de Peano

São eles:

  1. O 0 é um número natural;
  2. A igualdade é reflexiva: a=a para todo natural a;
  3. A igualdade é simétrica: se a=b, então b=a, para quais quer a e b naturais;
  4. A igualdade é associativa: se a=b e b=c, então a=c, para quaisquer a, b e c naturais;
  5. Os naturais são fechados na igualdade. Se a=b e a é natural, então b é natural;
  6. Para todo n ∈ N, o sucessor de n, denotado por S(n), também é natural;
  7. Não existe n ∈ N tal que S(n) = 0;
  8. S(n) pode ser entendido como uma função, e temos que, se S(n)=S(m), então m=n, ou seja, S(n) é uma função injetora;
  9. Se C é um conjunto, tal que:
    0 ∈ C;
    Para todo n ∈ N, se n ∈ C, então S(n) ∈ C;
    Esse conjunto contém todos os números naturais.

Na lógica matemática, um axioma é uma afirmação que é considerada óbvia o bastante para que não seja necessária uma prova.

Normalmente, axiomas – também chamados de postulados – são enunciados no começo do desenvolvimento de uma teoria, e todos os demais teoremas dessa teoria são demonstrados a partir desses axiomas.

Os axiomas de Peano servem como base para boa parte da lógica aritmética, principalmente em áreas voltadas à teoria dos números.

Axiomas de Peano – curiosidades

O nono axioma pode ser escrito na seguinte forma:

Se p é uma proposição para os números naturais tal que:

  • p(0) de verdade;
  • para todo número natural n, se p(n) é verdade, p(S(n)) também é verdade;

Então, essa proposição é verdadeira para todos os números naturais.

Esse axioma, ao ser escrito dessa forma, origina o princípio da indução infinita.

Axiomas de Peano – origem

Os axiomas de Peano foram apresentados por Giuseppe Peano, um matemático italiano que escreveu mais de 200 livros e artigos e foi um dos responsáveis pela fundação da teoria dos conjuntos e da lógica matemática.

Seus axiomas foram apresentados devido a uma crescente demandada dos matemáticos da época por mais formalismo na aritmética.

Figura 1: Giuseppe Peano

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