Última atualizaçao em: 05 de Novembro de 2020, ás 19:40

Existem diferentes métodos de se calcular áreas de figuras planas, em particular, trato neste artigo sobre a área de triângulo. A maneira de resolver, nesses casos, dependerá dos dados fornecidos pelo problema. Por isso a importância de se ficar atento aos detalhes da questão.

Assim, é importante conhecer o máximo de métodos possíveis de se calcular a área do triângulo. Isso porque, muitas vezes, dependendo dos dados da questão, somente um método pode ser possível. A seguir, listarei os casos mais recorrentes nas provas de vestibulares.

Como calcular área de triângulo?

Caso 01

Neste primeiro caso, vamos saber como calcular a área de um triângulo em função dos comprimentos dos lados e suas respectivas alturas. Observe a figura abaixo:

Cálculo da área do triângulo em função dos comprimentos dos lados e suas respectivas alturas

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo ABC dado e h a altura relativa ao segmento \dpi{100} \large \overline{AB}, a área S do triângulo é dada por:

\dpi{100} \large S=\ \frac{c\cdot h}{2}

Perceba que um cálculo análogo poderia ser realizado para as demais alturas, atentando sempre para o fato de que a fórmula deve ser escrita respeitando-se a correspondência entre a altura e o respectivo lado.

Esse é o método mais usado. Perceba que você não precisa ter necessariamente todos os lados do triângulo, basta ter um lado e a altura respectiva.

Caso 02

Neste segundo caso, vamos calcular a área do triângulo em função dos cumprimentos dos lados.

Cálculo da área de triângulo em função dos comprimentos dos lados

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo e \dpi{100} \large p=\frac{a+b+c}{2}  o  semiperímetro do triângulo ABC dado, a área do triângulo é dada por:

\dpi{100} \large S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

A equação acima é conhecida como “fórmula de Heron”, também chamada de “teorema de Herão”.

Perceba que, para este método, são necessários os valores de todos os lados do triângulo.

Caso 03

Neste terceiro caso, vamos aprender a calcular a área do triângulo em função dos cumprimentos dos lados e do raio da circunferência inscrita. Observe o triângulo a seguir:

Cálculo da área do triângulo em função dos comprimentos dos lados e do raio da circunferência inscrita

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo dado, \dpi{100} \large p=\frac{a+b+c}{2} o  semiperímetro do triângulo e r o comprimento do raio da circunferência inscrita ao triângulo ABC dado, a área do triângulo em função desses dados é:

\dpi{100} \large S=p\cdot r

Você poderia pensar: por que não usar o método anterior (fórmula de Heron) já que eu tenho os valores de todos os lados do triângulo? Bom, nem sempre a questão vai fornecer todos os lados, o enunciado pode apresentar diretamente o valor do semiperímetro sem ter que citar as medidas dos lados.

Caso 04

Aqui, neste quarto caso, vamos calcular a área de triângulo em função dos cumprimentos dos lados e do raio R da circunferência circunscrita. Veja a figura a seguir:

Cálculo da área de triângulo em função dos comprimentos dos lados e do raio R da circunferência circunscrita

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo dado e R o comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo, a área do triângulo é dada por:

\dpi{100} \large S\ =\ \frac{a\cdot b\cdot c}{4R}

Você pode estar se perguntando: por que não usar o método do 3º caso (fórmula de Heron) já que eu tenho os valores de todos os lados do triângulo?

Veja que para usar a fórmula de Heron você precisa calcular uma raiz e nem sempre a raiz é fácil, e no vestibular normalmente não se pode usar calculadora.

Aí que entra esse método! Se você souber o valor do raio da circunferência externa você poderá encontrar a área fazendo umas contas de multiplicação e divisão. Bem mais fácil que encontrar o valor de uma raiz que nem sempre é raiz perfeita.

Caso 05

Neste caso, vamos calcular a área de triângulo em função do raio da circunferência ex-inscrita. Vamos observar a figura a seguir:

Cálculo da área de triângulo em função do raio da circunferência ex-inscrita

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo dado, \dpi{100} \large p=\frac{a+b+c}{2} o  semiperímetro do triângulo ABC dado e r o comprimento do raio da circunferência ex-inscrita ao triângulo, a área do triângulo é dada por:

\dpi{100} \large S=\left(p-a\right)\cdot r

Perceba que um cálculo análogo poderia ser realizado utilizando-se as circunferências ex-inscritas aos demais lados, atentando sempre para o fato de que a fórmula deve ser escrita respeitando-se a correspondência entre o lado ao qual a circunferência ex-inscrita é tangente e o raio dessa circunferência.

Esse método é pouco usado, justamente porque é raro encontrar questões que fornecem o valor do raio de uma circunferência ex-inscrita. Mas não deixe de estudar esse método. Nunca se sabe o que a questão vai fornecer!

Caso 06

Antes de passar para uma questão de vestibular, vamos calcular a área do triângulo neste último caso. Aqui, vamos aferir a área em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido entre esses lados. Observe:

Cálculo da área do triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido entre esses lados

Sejam b, c os comprimentos de dois dos lados do triângulo dado e \dpi{100} \large \alpha o valor do ângulo compreendido entre esses dois lados, a área do triângulo é:

\dpi{100} \large S=\frac{b\cdot c\cdot s e n\alpha}{2}

Perceba que um cálculo análogo poderia ser realizado utilizando-se combinação de quaisquer dois lados do triângulo e o ângulo compreendido entre eles, atentando sempre para o fato de que a fórmula deve ser escrita respeitando-se a correspondência entre os dois lados e o respectivo ângulo.

Esse método é muito usado também. Nos casos em que a questão fornecer dois lados e o valor do ângulo entre esses lados.

Como área de triângulo cai no vestibular?

Questão ITA 2009

Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio \dpi{100} \large R=2\ cm, sabe-se que o lado \dpi{100} \large \overline{BC} mede 2 cm e o ângulo interno \dpi{100} \large \hat{ABC} mede 30°. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a:

a) \dpi{100} \large 2-\sqrt3

b) \dpi{100} \large \frac{1}{3}

c) \dpi{100} \large \frac{\sqrt2}{4}

d) \dpi{100} \large 2\sqrt3-3

e) \dpi{100} \large \frac{1}{2}

Resolução Comentada

A partir das informações do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

Seja S a área do triângulo ABC, p seu semiperímetro e r o raio da circunferência inscrita ao triângulo, é fácil ver que o problema se encaixa no 1° caso. Portanto, temos:

1)  \dpi{100} \large S=\ \frac{AB\ \cdot\ 1}{2}=\ \frac{2\ \cdot\ \sqrt3}{2}=\ \sqrt3

Podemos calcular a área S de outra maneira também. Veja que ele quer saber o raio da circunferência interna e eu conheço o valor de todos os lados, então é aplicável o método do 3º caso:

2)  \dpi{100} \large S=p\cdot r\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ S=\ \frac{4+2\sqrt3}{2}\ \cdot\ \ r

Igualando as equações, já que a área é a mesma, temos:

3)  \dpi{100} \large \frac{4+2\sqrt3}{2}\ \cdot\ \ r\ =\ \sqrt3\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ r=\ \frac{\sqrt3}{2\ +\ \sqrt3}

\dpi{100} \large \Rightarrow\ \ \ \ r=\ 2\sqrt3-3

Resposta: D

Note que nessa questão foi necessário saber mais de um método. E não podia ser quaisquer métodos. Você teria que perceber que a questão pedia para encontrar o valor do raio inscrito e logo pensar em usar o método do 3º caso. Bastava pensar em outra maneira de calcular a mesma área. Pode ser tanto o método do 1º caso quanto a fórmula de Heron.

CURSO PARA VESTIBULAR

0 Shares:
Você pode gostar também