A determinação de grupos, a combinação de fatores, a randomização de valores e o desenvolvimento de sorteios são momentos cotidianos que contém teorias matemáticas e aparecem nos vestibulares. Por isso, é muito importante entender como são abordados temas como probabilidades e análise combinatória no Enem

Para te ajudar com o assunto, o Estratégia Vestibulares preparou um resumo com as principais informações sobre as combinações possíveis em um conjunto de elementos. Entenda melhor os arranjos, os grupamentos dos fatores, as fórmulas utilizadas, entre outros. Acompanhe!

Análise Combinatória o que é

Análise combinatória é a parte da matemática que se dedica ao estudo da contagem. Por meio das ferramentas de combinação, é possível determinar as quantidades de elementos, grupamentos e possibilidades dentro de um conjunto específico de fatores.

Esse ramo matemático é muito utilizado, por exemplo, para a constituição do número de documentos, placas de automóveis, identificação telefônica, criação de senhas, criptografia, entre outros contextos. Nesse sentido, o conhecimento básico sobre o assunto é necessário para diversas situações cotidianas e também nos vestibulares. 

Como é cobrada a Análise Combinatória no Enem?

Os temas mais recorrentes sobre análise combinatória no Enem são: combinação, arranjo e permuta. A seguir, entenda melhor cada um desses tópicos.

Combinação

A combinação é utilizada para formação de grupamentos entre elementos que possuem uma ordem não especificada, a partir de um conjunto com maior número de componentes. Pode ser muito útil na escolha de grupos de pessoas ou na mistura de ingredientes em uma mistura, por exemplo. A fórmula de cálculo é determinada por: 

Combinação (n,k)= n! / k! 

Em que n representa o número total de elementos do conjunto e k representa o número de elementos nos agrupamentos. Compreenda melhor com o modelo seguinte:

Para escolher quais sabores colocar em uma casquinha de sorvete, João tem três possibilidades (chocolate, creme e morango) e selecionará apenas duas. Independentemente da ordem em que João dispuser o alimento no recipiente, a mistura de paladar será a mesma. Assim, escolher creme com chocolate é o mesmo que escolher chocolate com creme. 

Arranjo 

A combinatória por arranjo é a formação de sequências na qual a ordem é importante e específica, a partir de um conjunto com maior número de elementos. A fórmula desse método considera que  p=número de elementos desejados na sequência e n=número de elementos totais do conjunto maior. 

Apn= np      quando n possui valores repetidos
Apn= n! / (n-p)!  quando n não possui valores repetidos

Ele se apresenta no cotidiano, por exemplo, no emplacamento dos veículos:

Se originado de um conjunto de n=10 algarismos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) devem ser formadas placas com p=6 elementos, quantas placas podem ser formadas?

Como não há repetição de valores em n, a fórmula será: 

Apn= n! / (n-p)!
A610= 10! / (10-6)!
A610= 10! / 4!              

Grande parte das vezes, o Enem fornece alternativas em formato de frações para suas questões, o que facilita as contas no momento da prova.

Diferença entre Combinação e Arranjo

Como citado anteriormente, a combinação não considera a ordem dos elementos, enquanto o arranjo carrega isso em sua essência.

A combinação aparece na formação de uma equipe executiva, quando escolher Ana, Mariana e Paula representam o mesmo grupo que Paula, Ana e Mariana. O arranjo, por outro lado, aparece na determinação de um número de telefone, quando 99999919 é diferente de 99999991. 

Permutação

O método de contagem permutação é utilizado para encontrar as possíveis formas de se arranjar um conjunto, dentro dele mesmo. Assim, nesse caso, a ordem importa e é o principal fator de diferenciação entre os grupos. A fórmula de cálculo é:

Pn=n!

Em que n=número de elementos do conjunto. 

Por exemplo, para determinar de quantas maneiras diferentes as letras da palavra ESTUDO podem ser agrupadas (anagrama), utiliza-se a permutação:

P6=6!

Isso porque a palavra estudo tem 6 letras e cada inversão indica um novo subconjunto. Ou seja, ESTUDO é diferente de ETUDOS e ambos serão contabilizados duas vezes.

Questões sobre Análise Combinatória no Enem

Agora que você já compreende os principais tópicos e fórmulas sobre análise combinatória, teste seus conhecimentos com uma questão do Enem, selecionada e resolvida pelo Estratégia. 

ENEM PPL 2009

Perfumista é o profissional que desenvolve novas essências para a indústria de cosméticos. Considere que um perfumista constatou que a combinação de quaisquer três extratos entre os de Andiroba, Cupuaçu, Pitanga e Buriti produzem fragrâncias especiais para a fabricação de perfumes.

Simbolizando-se a essência de Andiroba por A, a de Buriti por B, a de Cupuaçu por C e a de Pitanga por P, quais são as possíveis combinações dessas essências para a fabricação de perfumes, constatadas pelo perfumista?

a) ABC, BCP 
b) ACB, BCP, PCA 
c) ABC, BCP, CBP 
d) ABC, ABP, ACP, BCP 
e) ACB, BAP, CPA, PAB 

Conforme o enunciado, a construção do perfume requer a escolha de 3 aromas dentre os 4 possíveis. Note que a combinação das fragrâncias não requer uma ordem específica. Assim, a fragrância ABC (andiroba, buriti, cupuaçu) é a mesma que BCA (buriti, cupuaçu, andiroba). Por isso, a fórmula escolhida deve desconsiderar a ordem de escolha.

Com base nas possibilidades de cálculos, pode-se escolher a combinação. Por meio dela, os elementos são agrupados sem relevância da ordem escolhida. 

A combinação das 4 fragrâncias selecionadas de 3 em 3 é dada por:

Combinação (n,k)= n! / k! 
C (4,3)= 4! / 3! 
C(4,3)= 4.3.2.1 / 3.2.1 
C(4,3)= 4

Agora você já possui o número de perfumes diferentes que o perfumista pode formar. Com isso, estão eliminadas as alternativas A, B e C, pois não contêm 4 elementos. 

Na opção E, por sua vez, a segunda e terceira mistura são iguais (BAP=PAB). Por fim, Para entender a formação dos grupamentos, veja o esquema abaixo:

A → B e C  =  ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
B  → A e P =  ABP = BPA = APB = BAP  = PAB = PBA
C  → A e P = ACP = CAP = CPA = APC = PAC = PCA
P  → B e C = BCP = PCB = CPB = CBP = PBC  = BPC

Perceba que a sequência de letras poderia ser diferente, qualquer uma das citadas nas igualdades. Ainda assim, a alternativa D representa todas as combinações em negrito — a resposta é a letra D.

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