Números Irracionais: como provar que um número é irracional?

Data 07/11/2019

Postado por Guilherme Reis

Para entender como é possível demonstrar que um número é irracional, é preciso entender, primeiramente, o que é um número irracional. Um número irracional é definido como um número real que não pode ser expresso por meio da divisão de dois números inteiros.

Sendo assim, um número irracional é um número real que não é racional.

Note que os números irracionais são definidos por aquilo que não são, ou seja, são definidos por não serem racionais. Isso fornece um direcionamento geral para uma forma de demonstrar que um número é irracional, que consiste de utilizar demonstrações por absurdo.

Geralmente, o método adotado para se provar que um número é irracional é supor que ele pode ser escrito da forma \dpi{150} \large \frac{p}{q} e provar que essa suposição levaria a uma conclusão falsa.

Vejamos um exemplo:

Prova da irracionalidade de \dpi{150} \large \sqrt{2}

Suponha, por absurdo, que \dpi{150} \large \sqrt{2}=\frac{p}{q}, em que p e q são inteiros primos entre si. Então, podemos elevar ambos os lados dessa equação ao quadrado, obtendo \dpi{150} \large 2=\frac{p^{2}}{q^{2}}. Multiplicando ambos os lados por \dpi{150} \large q^{2}, temos \dpi{150} \large p^{2}=2q^{2}. Assim, concluímos que \dpi{150} \large p^{2} é um número par.

Mas, como p é inteiro, se \dpi{150} \large p^{2} não só é múltiplo de 2, como é múltiplo de 4. Assim, \dpi{150} \large p^{2}=4k, em que k é inteiro. Substituindo na equação, temos que \dpi{150} \large 2q^{2}=4k\rightarrow q^{2}=2k. De maneira análoga ao que foi feito para p, isso nos leva a concluir que q é múltiplo de 2.

Contudo, isso nos conduz a um absurdo, pois supomos que p e q eram primos entre si, e concluímos que 2 é fator comum de ambos. Então \dpi{150} \large \sqrt{2} não pode ser expressa como a razão entre dois inteiros, sendo assim, um número irracional.

Curiosidades

O primeiro descobridor de números irracionais foi Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Conta a lenda que ele teria conseguido demonstrar de alguma forma que o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a 1 (ou seja, \dpi{150} \large \sqrt{2}) é incomensurável, ou seja, que não pode ser expresso como fração de números inteiros.

Pitágoras considerava que isso violava seu conceito de que os números seriam perfeitos, mas como não conseguiu refutar o argumento de Hipaso de maneira lógica, condenou Hipaso ao afogamento.

O matemático alemão Julius Wilhelm Richard Dedekind foi o primeiro a introduzir na matemática o conceito de números irracionais de maneira formal. E isso ocorreu apenas em 1872, sendo que a geometria dava indícios da existência desses números há mais de 2000 anos.

A prova da irracionalidade de certos números pode se tornar muito complexa, ao ponto de existirem números que não se pôde ainda concluir se são ou não irracionais. Esse é o caso, por exemplo, do logaritmo natural de \dpi{150} \large \pi.

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Guilherme Reis

Guilherme Reis

Estudante cursando o 1º ano do curso de Engenharia Eletrônica no Instituto de Engenharia da Aeronáutica, o ITA, trilheiro e articulista no Estratégia Vestibulares.

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